题目

当n为正整数时，关于x的方程2x²-8nx+10x-n²+35n-76=0的两根均为质数，试解此方程．

提问时间：2021-12-21

答案

设两质数根为x₁，x₂，则x₁+x₂=4n-5为奇数，x₁，x₂，则必一奇一偶，
不妨设x₁=2，代入原方程得：
n²-19n+48=0，
解得：n₁=16，n₂=3，
当n=16时，x₂=57（不是质数，故舍去）；
当n=3时，x₂=5．
综上可得：n=3，此时方程的根x₁=2，x₂=5．

利用根与系数的关系，得出两根的关系，利用特殊值求出方程的根．

本题考点：一元二次方程的整数根与有理根；质数与合数．

考点点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及指数的定义，综合性较强．