题目

已知函数f（x）=2^x+a⋅2-^x，则对于任意实数a，函数f（x）不可能（　　）
A. 是奇函数
B. 既是奇函数，又是偶函数
C. 是偶函数
D. 既不是奇函数，又不是偶函数

提问时间：2021-12-21

答案

函数的定义域为R，关于原点对称，
则f（-x）=2^-x+a⋅2^x，
若为奇函数，则f（-x）+f（x）=0，
即有（a+1）（2^x+2^-x）=0，解得，a=-1；
若为偶函数，则f（-x）-f（x）=0，
即有（a-1）（2^x-2^-x）=0，解得a=1；
若a≠1，且a≠-1，则有f（-x）≠f（x），且≠-f（x），即既不是奇函数，也不是偶函数；
若既是奇函数，也是偶函数，则为f（x）=0，不可能，故B错．
故选B．

求出函数的定义域，判断是否关于原点对称，再计算f（-x），对选项加以判断，求出a，即可得到．

本题考点：函数奇偶性的判断．

考点点评：本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义，考查运算能力，属于中档题．