题目

在某两个正数x，y之间，若插入一个正数a，使x，a，y成等比数列；若插入两个正数b，c，使x，b，c，y成等差数列，求证：（a+1）²≤（b+1）（c+1）．

提问时间：2021-12-21

答案

∵x，a，y成等比数列
∴a²=xy
∵a＞1
∴a＝

xy

∵x，b，c，y成等差数列
∴b-x=c-b=y-c
即b=

2x+y

3

，c=

x+2y

3

∴（b+1）（c+1）=(

2x+y

3

+1)（

x+2y

3

+1）=

2(x2+y2)  +5xy+9x+9y+9

9

∵x＞0，y＞0
∴

2(x2+y2)  +5xy+9x+9y+9

9

≥

2×(2xy)+5xy

9

+2

xy

+1＝ (

xy

+1)2=（a+1）²
即：（a+1）²≤（b+1）（c+1）．

根据某两个正数x，y之间，若插入一个正数a，使x，a，y成等比数列，得到a＝

xy

，在根据插入两个正数b，c，使x，b，c，y成等差数列，得到b=

2x+y

3

，c=

x+2y

3

，从而将原不等式转化为关于x，y的关系式，再利用基本不等式即可

本题考点：基本不等式；等差数列与等比数列的综合．

考点点评：本题考查了基本不等式，等差数列与等比数列的综合，属于基础题．