题目

假设实数b,c满足b^2+c^2=1,且fx=ax+bsinx+ccosx的图像存在两条切线互相垂直,则a的取值范围为

提问时间：2021-12-20

答案

由 b^2+c^2=1,
可令：b=cosθ,c=sinθ; θ∈（0,2π] ①
求导：f '(x) = a+bcosx - csinx ; ②
将 ①代入②得：
f '(x) =a+cosxcosθ -sinxsinθ
=a+cos( x+θ )
又原图像存在两条切线互相垂直,
∴存在 X1 ,X2 使得 f '(X1)f '(X2)=0 ;
( 观察式子 ：f '(X1)f '(X2)=0 ,要使 f '(X1)f '(X2)=0 成立,则应有 f '(X1)=0,或 f '(X2)= 0,
或 f '(X1)=f '(X2)= 0)
∴ f '(x) =a+cos( x+θ )=0 至少有一个解
(观察y=cosx的图像 )
∵ cos( x+θ ) ∈[-1,1]
∴ a ∈[-1,1]