题目

已知点P（2，0）及圆C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（1）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；
（2）设过点P的直线l_l与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程；
（3）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l₂垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

提问时间：2021-12-20

答案

（1）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y-0=k（x-2）．又圆C的圆心为（3，-2），半径r=3，由|3k+2-2k|k2+1=1，解得k=-34．所以直线方程为y=-34（x-2），即3x+4y-6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也...

（1）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；
（2）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；
（3）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l₂垂直平分弦AB得到圆心必在直线l₂上，根据P与C的坐标即可求出l₂的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，即可求出直线ax-y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．

本题考点：直线与圆的位置关系

考点点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．