题目

n除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，…，除以16余15．n最小为 ___ ．

提问时间：2021-12-18

答案

如果这个数加上1，则它就是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16的倍数．
而2，3，4，5…16 的最小公倍数是720720，
所以n最小值=720720-1=720719．
故答案为：720719．

根据题意，如果这个数加上1，则它就是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16的倍数．求n得最小值就是求2到16的最小公倍数减去1．
第一：由于16是2、4、8的倍数，所以如果n+1是16的倍数，就一定是2、4、8的倍数，所以这里就可以去掉2、4、8；
第二：由15是3、5的倍数，所以同样可以去掉3和5； 
第三：由于必须是2和5的倍数，所以肯定是10的倍数，所以10也可以不考虑；
第四：由于7、11、13是质数，则必须考虑在内；
这时需要考虑的数有 7、9、11、13、15、16；
将它们分解质因子 分别是：7、3×3、11、13、3×5、2×2×2×2；
它们的最小公倍数就是2×2×2×2×3×3×5×7×11×13=720720．
因此所求的n最小值=720720-1=720719．

本题考点：公约数与公倍数问题．

考点点评：此题考查了带余数的除法的运算，以及求最小公倍数的方法．