题目

在三角形ABC中,角B为60°,AC为根号3,则AB+2BC的最大值为多少?
最大值为2√7≈5.29.
已知△ABC中B=60°,b=√3,那么外接圆直径2R=√3/sin60°=2,设A=60°+α,则C=60°-α据正弦定理c+2a=2sin(60°-α）+4sin(60°+α）
=√3cosα-sinα+2√3cosα+2sinα
=3√3cosα+sinα
=2√7sin(β+α）,其中sinβ=3√3/2√7；而cosβ=1/2√7.
故AB+2BC的最大值是2√7.
为什么会想起来这样设设A=60°+α,则C=60°-α

提问时间：2021-12-14

答案

不要拘泥这种解题技巧,也不一定快捷.更一般方法：C=120°-B
由正弦定理：a/sinA=c/sinC=b/sinB=√3/sin60°=2,得：b=2sinB,c=2sinC
所以：AB+2BC=c+2b=4sinB+2sinC=4sinB+2sin（120°-B）
=5sinB+√3cosB
=4√3(5/4√3*sinB+√3/4√3*cosB)
= 4√3sin（B+Q） （ 其中辅助角Q：tanQ=√3/5）
所以最大值：4√3