题目

已知二次函数f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1在区间[-1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0，求实数p的取值范围．

提问时间：2021-12-13

答案

二次函数f（x）在区间[-1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的否定是：对于区间[-1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，∴f(1)≤0f(−1)≤0即4−2(p−2)−2p2−p+1≤04+2(p−2)−2p2−p+1≤0整理得2p2+3p−9≥02p2−...

由于二次函数f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1的图象是开口方向朝上的抛物线，故二次函数f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1在区间
[-1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的否定为对于区间[-1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，即f（-1），f（1）均小于等0，由此可以构造一个关于p的不等式组，解不等式组即可求出实数p的取值范围．

本题考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间
[-1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0时，

f(1)≤0 f(−1)≤0

是解答本题的关键．