题目

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G，

（1）求证：点F是BD中点；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

提问时间：2021-12-13

答案

（1）证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，∴EHBF＝AEAF＝CEFD，∵HE=EC，∴BF=FD（2）证明：连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO∴∠OCF=9...

（1）由已知中CH⊥AB于点H，DB为圆的切线，我们易得到△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF，进而根据三角形相似，对应边成比例，根据E为CH中点，得到点F是BD中点；
（2）连接CB、OC，根据圆周定理的推论，我们易得在直角三角形BCD中CF=BF，进而求出∠OCF=90°，由切线的判定定理，得到CG是⊙O的切线；
（3）由由FC=FB=FE，易得FA=FG，且AB=BG，由切割线定理及勾股定理，我们可以求出AB的长，即圆的直径，进而得到圆的半径．

本题考点：圆的切线的判定定理的证明；相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．

考点点评：本题考查的知识点是圆的切线的判定定理的证明，相似三角形的性质及与圆有关的比例线段，其中根据已知线段与求知线段的位置关系，分析后选取恰当的定理进行解答是解答本题的关键．