题目

设数列{an}满足a1=2,a(n+1)平方=an平方+2+1an平方(n=1,2,3,...).求证:an>√(2n+1)对一切正整数n恒成立

提问时间：2021-12-13

答案

a(n+1)平方=an平方+2+1an平方=(an+1/an)平方
a(n+1)=an+1/an (a1=2 ,an＞0）
数学归纳法证明
n=1时
a1=2>根号3,成立
假设n=k时成立
a(k)>√(2k+1)
令a(k)^2=(2k+1)+m
a(k+1)=(a(k)^2+1)/a(k)=[2(k+1)+1+(m-1)]/√[2(k+1)+1+(m-2)]
>[2(k+1)+1]/√[2(k+1)+1]
=√[2(k+1)+1]
n=k+1时也成立
故:an>√(2n+1)