题目

悬赏200分：瑕积分求证题
已知积分(0 -> pi/2) tanx dx = +无穷（发散）.
那么积分(0 -> pi/2) (tanx)^(1/2) dx 是否发散?
原题是英文所以翻译过来对于国内的高手看来会有些奇怪（本人在国外读书）,所以不能理解题目的话请告诉我.
回答采纳后追加100分.
非常感谢!
英文原题：
Note integral from 0 to pi/2 (tanxdx) = +infinity diverges.
Does I = integral from 0 to pi/2 (tanx)^0.5 dx diverge?
Tip: This trigonometric identity must be used in solving the question: tanx = sinx / cosx.
Tip 2: Consider sinx^0.5 / cosx

提问时间：2021-12-12

答案

令x=arctan t^2
则积分(0 -> pi/2) (tanx)^(1/2) dx
=积分(0 -> 正无穷) 2t^2/(1+t^4) dt
=积分(0 -> 1) 2t^2/(1+t^4) dt + 积分(1 -> 正无穷) 2t^2/(1+t^4) dt
其中,积分(0 -> 1) 2t^2/(1+t^4) dt<积分(0 -> 1) 2t^2/(2t^2) dt=1,是有限数
积分(1 -> 正无穷) 2t^2/(1+t^4) dt
< 积分(1 -> 正无穷) 2t^2/(t^4) dt
=积分(1 -> 正无穷) 2/t^2 dt
= (-2/t) | (1 -> 正无穷)
=2,且积分(1 -> 正无穷) 2t^2/(1+t^4) dt>0,是有限数
因此应该是收敛,即converge