题目

圆C:x2+y2+2x+ay+1=0,过定点P（0,1）做斜率为1 的直线交圆C于A,B两点,P为AB的中点
1）求a的值（这个我算出来了） 2）设E为圆C上异于A,B的任意一点,求圆C的内接三角形ABE面积的最大值 3）从圆外一点M向圆C引一条切线,切点为N,且有MN=MP,求MN的最小值,冰球MN取最小值时点M的坐标

提问时间：2021-12-11

答案

1)直线,y=x+1 圆(x+1)^2+(y+a/2)^2=(a/2)^2,圆心(-1,-a/2),半径│a│/2 P是AB中点,P(0,1)到圆心距离可求√[1+(1+a/2)^2],连接圆心与P,所以连线是AB的垂直平分线.根据点到知心距离x-y+1=0,有│a/2│/√2=√[1+(1+a/2)^2],解得a= -4 圆方程(x+1)^2+(y-2)^2=4 2)根据上面,圆心C,连接AC,BC,CP=√2,所以AP=√(AC^2-CP^2)=√2,AB=2√2,圆心角∠ACB=90° △ABE面积最大,即是E到AB的距离最大,连接PC交圆于优弧AB于E,交劣弧于F,此E点即是最大面积.因为PE过圆心,垂直于AB,所以过E点的切线于AB平行,此时即与AB距离最大的状态.CP=√2,所以PE=2+√2,S(max)=1/2*2√2*(2+√2)=2√2+2 3)设M点坐标(x,y),则MP^2=x^2+(y-1)^2,MN^2=MC^2-CN^2=(x+1)^2+(y-2)^2-2^2 MP^2=MN^2 所以x^2+(y-1)^2=(x+1)^2+(y-2)^2-2^2 化简得x-3y=0 所以x=3y MN^2=(3y)^2+(y-1)^2 =10y^2-2y+1 =10(y-1/10)^2+9/10 所以MN最小值是3√10/10,此时M(3/10,1/10)