题目

由两个等差数列2,x,8,…和y,7,11,…的,公共项不改变原有顺序组成的数列记为{Cn},
试求{Cn｝通项公式,
证明{Cn｝也是等差数列

提问时间：2021-12-10

答案

设前两个数列分别为An,Bn
8-x=x-2,11-7=7-y => x=5,y=3 => d(a)=3 d(b)=4
a1=2,am=a1+(m-1)d(a)=2+3(m-1)=3m-1
b1=3,bn=b1+(n-1)d(b)=3+4(n-1)=4n-1
公共项即为am=bn,即3m-1=4n-1,解得3m=4n,即m=4n/3
设n=3k,则m=4*3k/3=4k (k>0,k∈Z)
∴am=3m-1=3*4k-1=12k-1 bn=4n-1=4*3k-1=12k-1
∴{Cn｝通项公式为Ck=12k-1 (k>0,k∈Z)
证明：∵Ck=12k-1,Ck+1=12(k+1)-1=12k+12-1
∴Ck+1-Ck=(12k+12-1)-(12k-1)=12 为常数,∴{Cn｝也是等差数列