题目

已知直线l：y=2x+1,椭圆C：x^2/4+Y^2/2=1分别交于A,B两点 1)求线段AB中点的坐标 2）求线段AB的长

提问时间：2021-12-09

答案

设A为(x1,y1),B为(x2,y2)
直线l：y=2x+1代入椭圆C方程：x^2/4+Y^2/2=1
可得x^2/4+(2x+1)^2/2=1
整理得9x^2+8x-2=0
x1+x2= -8/9
x1x2= -2/9
再令直线为x=(y-1)/2代入椭圆方程
可得(y-1)^2/16+y^2/2=1
9y^2-2y-15=0
y1+y2=2/9
y1y2= -5/3
(1)
则AB中点坐标是((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
=( -4/9,1/9)
(2)
线段AB的长=√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2
=64/81+8/9
=136/81
(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2
=4/81+20/3
=544/81
((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)=680/81
线段AB的长=√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)
=√(680/81)=(2√170)/9