题目

已知，对x∈R，f（x）满足f（x）=-f（x+1），且当x∈[-1，0]时，f（x）=x²+2x．求当x∈[9，10]时f（x）的表达式．

提问时间：2021-12-08

答案

设x∈[9，10]，∵f（x）=-f（x+1）；∴f（x+1）=-f（x）；∴f（x）=-f（x-1）=f（x-2）=…=f（x-10）；又x∈[-1，0]时，f（x）=x2+2x；∵x∈[9，10]，∴x-10∈[-1，0]；∴f（x-10）=（x-10）2+2（x-10）=x2-18x+80；...

设x∈[9，10]，要想用上f（x）=x²+2x，需将自变量的值变到区间[-1，0]上．因为f（x）=-f（x+1），所以f（x+1）=-f（x），所以f（x）=-f（x-1）=-[-f（x-2）]=f（x-3）=…=f（x-10），因为x∈[9，10]，所以x-10∈[-1，0]，所以将x-10带入解析式f（x）=x²+2x，即得f（x-10），也就得到了f（x）．

本题考点：函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：考查通过递推的办法，将自变量的值变到已知的函数解析式的自变量所在区间求函数解析式的方法．