题目

阅读以下求 1+2+3+...+n 的值的过程.因为 (n+1)^2 - n^2 = 2n+1
阅读以下求 1+2+3+...+n 的值的过程.
因为 (n+1)^2 - n^2 = 2n+1
n^2 - (n-1)^2 = 2(n-1) + 1.
.........
2^2 - 1^2 = 2*1 + 1.
以上各式相加得
(n+1)^2 - 1 = 2(1+2+...+n) + n
所以 1+2+3+...+n = (n^2 + 2n - n) / 2 = [n(n+1)] / 2
类比以上过程,求 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...+n^2 的值

提问时间：2021-12-08

答案

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
(1^2+2^2+...+n^2)=n(n+1)[(2n+1)/6