题目

已知α、β是方程ln²x-lnx²-2=0的两个根，则log_αβ+log_βα=______．

提问时间：2021-12-05

答案

∵α、β是方程ln²x-lnx²-2=0的两个根，∴lnα和 lnβ是方程t²-2t-2=0的两个根，
∴lnα+lnβ=2，lnα•lnβ=-2．
∴log_αβ+log_βα=

lnβ

lnα

+

lnα

lnβ

=

ln2β+ln2α

lnα•lnβ

=

(lnα+lnβ)2−2lnα•lnβ

lnα•lnβ

=

4−2•(−2)

−2

=-4．
故答案为：-4．

由题意可得 lnα和 lnβ是方程t²-2t-2=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得 lnα+lnβ=2，lnα•lnβ=-2，利用对数的运算性质求得log_αβ+log_βα的值．

本题考点：根与系数的关系；对数的运算性质．

考点点评：本题主要考查对数函数的运算性质的应用，一元二次方程根与系数的关系，求得lnα+lnβ=2，lnα•lnβ=-2，是解题的关键．