题目
如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)与双曲线y=
相交于点A,B.已知点A的坐标为(1,4),点B在第三象限内,连结AB交y轴于点E,且S△BOE=
S△AOB(O为坐标原点).
(1)求此抛物线的函数关系式;
(2)过点A作直线平行于x轴交抛物线于另一点C.问在y轴上是否存在点P,使△POC与△OBE相似,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请简要说明理由;
(3)抛物线与x轴的负半轴交于点D,过点B作直线l∥y轴,点Q在直线l上运动,且点Q的纵坐标为t,试探索:当S△AOB<S△QOD<S△BOC时,求t的取值范围.
k |
x |
2 |
3 |
(1)求此抛物线的函数关系式;
(2)过点A作直线平行于x轴交抛物线于另一点C.问在y轴上是否存在点P,使△POC与△OBE相似,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请简要说明理由;
(3)抛物线与x轴的负半轴交于点D,过点B作直线l∥y轴,点Q在直线l上运动,且点Q的纵坐标为t,试探索:当S△AOB<S△QOD<S△BOC时,求t的取值范围.
提问时间:2021-12-04
答案
(1)点A(1,4)在双曲线y=
上,得k=4
∵S△BOE=
S△AOB,
∴|xA|:|xB|=1:2
∴xB=-2,
∵点B在双曲线y=
上,
∴点B的坐标为(-2,-2)
∵点A,B都在y=ax2+bx(a>0)上,
∴
解得:
所求的二次函数的解析式为:y=x2+3x;
(2)∵点C坐标为(-4,4),若点P在y轴的正半轴,则∠POC=45°,不符合题意.
所以点P在y轴的负半轴上,则∠POC=45°
此时有∠POC=∠BOE=135°,
所以
=
或
=
时,
△POC与△OBE相似
∴OP=4或8.
所以点P的坐标为(0,-4)或(0,-8);
(3)设点Q的坐标为(-2,t)
∵直线AB经过点A(1,4),B(-2,-2)
∴直线AB的函数关系式为y=2x+2
∴E(0,2)
由y=x2+3x可知点D(-3,0).
∵S△AOB=3,S△QOD=
|t|,S△BOC=8
∴3<
|t|<8
当t≥0时,2<t<
当t<0时,-
<t<-2
综上:2<t<
或-
<t<-2
k |
x |
∵S△BOE=
2 |
3 |
∴|xA|:|xB|=1:2
∴xB=-2,
∵点B在双曲线y=
k |
x |
∴点B的坐标为(-2,-2)
∵点A,B都在y=ax2+bx(a>0)上,
∴
|
解得:
|
所求的二次函数的解析式为:y=x2+3x;
(2)∵点C坐标为(-4,4),若点P在y轴的正半轴,则∠POC=45°,不符合题意.
所以点P在y轴的负半轴上,则∠POC=45°
此时有∠POC=∠BOE=135°,
所以
OP |
OC |
OE |
OB |
OP |
OC |
OB |
OE |
△POC与△OBE相似
∴OP=4或8.
所以点P的坐标为(0,-4)或(0,-8);
(3)设点Q的坐标为(-2,t)
∵直线AB经过点A(1,4),B(-2,-2)
∴直线AB的函数关系式为y=2x+2
∴E(0,2)
由y=x2+3x可知点D(-3,0).
∵S△AOB=3,S△QOD=
3 |
2 |
∴3<
3 |
2 |
当t≥0时,2<t<
16 |
3 |
当t<0时,-
16 |
3 |
综上:2<t<
16 |
3 |
16 |
3 |
(1)首先求得反比例函数的解析式,然后求得点B的坐标,利用待定系数法求得抛物线的解析式即可;
(2)根据△POC与△OBE相似,得到OP=4或8,从而求得点P的坐标即可;
(3)求得点Q、点E、点D的坐标,从而表示出S△AOB=3,S△QOD=
|t|,S△BOC=8,得到3<
|t|<8,从而求得t的取值范围;
(2)根据△POC与△OBE相似,得到OP=4或8,从而求得点P的坐标即可;
(3)求得点Q、点E、点D的坐标,从而表示出S△AOB=3,S△QOD=
3 |
2 |
3 |
2 |
二次函数综合题.
此题考查了二次函数的综合题目,第一问的解答关键是掌握待定系数法的运用,求解第二问需要我们会根据相似三角形的性质求线段的长,涉及到了分类讨论的数学思想,此类综合题目,难度较大,注意逐步分析.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
热门考点
- 1若前2011个正整数的乘积1×2×…×2011能被2010k整除,则 正整数k的最大值为 _.
- 2The new flexible working time system will enable the(employ)to work more efficiently
- 3明知其不可为而为之是什么意思
- 4甲乙丙三根管子共长360m,甲的1/4在水面上,乙1/9在水面上,丙1/6在水面上,问水深
- 5【你需要交房费】用英语怎么说?
- 6把贴有123456标帖的6个鸡蛋分别放入4个篮中其中1号2号鸡蛋要放在一起,问有几种方法?怎么算?关键是算法!
- 7After he ____ from university,he will work in the IBM Company in China.
- 8不见棺材不流泪,不到黄河心不死的解释
- 9负荆请罪出自哪部书?这部书的作者是谁?
- 10My question is 中间要用什么连接he will come tomorrow.1.that 2.it 3.whether 4.this