题目

如图，F₁、F₂为双曲线C：

x2

a2

−

y2

b2

＝1(a＞0，b＞0)的焦点，A、B为双曲线的顶点，以F₁F₂为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M、N两点，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为______．

提问时间：2021-11-19

答案

由题意可知，圆的方程为x²+y²=c²，双曲线的渐近线方程为y=

b

a

x，
将其代入圆的方程得M（a，b），N（-a，-b）．因为∠BAM=30°．
连接MB，在Rt△MAB中，tan∠BAM=

MB

AB

=

b

2a

=

3

3

，

b

a

＝

2 3

3

，
所以e=

c

a

=

1+( b a )2

=

21

3

．
故答案为：

21

3

．

由题意求出圆的方程，双曲线的渐近线方程，通过∠MAB=30°求出a，b的关系，然后求出双曲线的离心率．

本题考点：双曲线的简单性质；圆的标准方程．

考点点评：本题考查双曲线的简单性质，考查圆的方程的应用，考查计算能力．