题目

无论m取何值，函数y＝2sin(

kx

3

+

π

4

)在区间[m+

2

3

，m+

3

4

)(m∈R)上至少有一个最大值和最小值，则正整数k的最小值为______．

提问时间：2021-11-10

答案

为使函数y＝2sin(

kx

3

+

π

4

)在区间[m+

2

3

，m+

3

4

)(m∈R)上至少有一个最大值和最小值，
m+

3

4

−(m+

2

3

)＝

1

12

函数f（x）的最小正周期一定不大于

1

12

∴T=

2π

k 3

＝

6π

k

≤

1

12

，
∴k≥72π≈72×3.14=226.8，
∴k的最小自然数为227．

先根据在任意两个整数之间（包括正整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个最大值和最小值，可确定函数f（x）的最小正周期的范围，再由正弦函数的最小正周期的求法可得到k的取值范围，进而可得到答案．

本题考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

考点点评：本题主要考查正弦函数的基本性质--周期性．三角函数是高考的一个重要考点，属于中档题．