题目
如图,O是正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连结DF,交BE的延长线于点G,连结OG.
(1)求证:①△BCE≌△DCF;②BG⊥DF.
(2)OG与BF有什么关系?证明你的结论;
(3)若正方形ABCD的面积为1,求CE的长.(结果保留根号)
(1)求证:①△BCE≌△DCF;②BG⊥DF.
(2)OG与BF有什么关系?证明你的结论;
(3)若正方形ABCD的面积为1,求CE的长.(结果保留根号)
提问时间:2021-11-10
答案
(1)证明:①∵正方形ABCD中,BC=DC,∠BCD=90°,
∴∠BCD=∠DCF=90°,
∴∠DCF=90°=∠BCD,
∵在△BCD和△DCF中,
,
∴△BCE≌△DCF(SAS);
②∵△BCE≌△DCF,
∴∠1=∠F,
∵∠BCD=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠F+∠2=90°,
∵D、G、F三点共线,
∴∠BGF+∠BGD=180°,
∴∠BGD=90°=∠BGF,
即BG⊥DF;
(2)OG
BF
理由:∵BE平分∠DBC,
∴∠2=∠3,
在△BGD和△BGF中,
,
∴△BGD≌△BGF(ASA),
∴DG=GF,
∵O为正方形ABCD的中心,
∴DO=OB,
∴OG是△DBF的中位线,
∴OG
BF;
(3) ∵BE平分∠DBC,
∴∠3=∠2,
∵GO∥BF,
∴∠2=∠OGB,
∴∠3=∠OGB,
∴BO=GO,
∴OG=
BD,
∴BD=BF,
设EC=x,则BF=BC+CF=BC+CE=x+1,
∴BD=x+1,
∵∠BCD=90°,
∴BC2+CD2=BD2,
即12+12=(x+1)2,
解得x=
-1,
即EC=
-1.
∴∠BCD=∠DCF=90°,
∴∠DCF=90°=∠BCD,
∵在△BCD和△DCF中,
|
∴△BCE≌△DCF(SAS);
②∵△BCE≌△DCF,
∴∠1=∠F,
∵∠BCD=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠F+∠2=90°,
∵D、G、F三点共线,
∴∠BGF+∠BGD=180°,
∴∠BGD=90°=∠BGF,
即BG⊥DF;
(2)OG
∥ |
. |
1 |
2 |
理由:∵BE平分∠DBC,
∴∠2=∠3,
在△BGD和△BGF中,
|
∴△BGD≌△BGF(ASA),
∴DG=GF,
∵O为正方形ABCD的中心,
∴DO=OB,
∴OG是△DBF的中位线,
∴OG
∥ |
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(3) ∵BE平分∠DBC,
∴∠3=∠2,
∵GO∥BF,
∴∠2=∠OGB,
∴∠3=∠OGB,
∴BO=GO,
∴OG=
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∴BD=BF,
设EC=x,则BF=BC+CF=BC+CE=x+1,
∴BD=x+1,
∵∠BCD=90°,
∴BC2+CD2=BD2,
即12+12=(x+1)2,
解得x=
2 |
即EC=
2 |
(1)①根据正方形的性质可以得到∠DCF=90°=∠BCD,根据SAS即可证得△BCE≌△DCF;
②利用△BCE≌△DCF,得出∠1=∠F,∠F+∠2=90°,进而得出∠BGD=90°=∠BGF;
(2)首先证明△BDG≌△BGF,从而得到OG是△DBF的中位线,即可得出答案;
(3)根据(2)的证明可以得到BF=BD,则设EC=x,则BD=x+1,在直角△BCD中,利用勾股定理即可得到一个关于x的方程求得EC的长.
②利用△BCE≌△DCF,得出∠1=∠F,∠F+∠2=90°,进而得出∠BGD=90°=∠BGF;
(2)首先证明△BDG≌△BGF,从而得到OG是△DBF的中位线,即可得出答案;
(3)根据(2)的证明可以得到BF=BD,则设EC=x,则BD=x+1,在直角△BCD中,利用勾股定理即可得到一个关于x的方程求得EC的长.
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