题目

点P（2，3）到直线：ax+（a-1）y+3=0的距离d为最大时，d与a的值依次为（　　）
A. 3，-3
B. 5，1
C. 5，2
D. 7，1

提问时间：2021-11-08

答案

∵直线ax+（a-1）y+3=0
即a（x+y）+（3-y）=0
∴直线ax+（a-1）y+3=0是过直线x+y=0和3-y=0交点的直线系，
由

x+y=0 3-y=0

得

x=-3 y=3

可得直线ax+（a-1）y+3=0经过定点Q（-3，3）
∴当直线ax+（a-1）y+3=0与PQ垂直时，
∴点P（2，3）到直线：ax+（a-1）y+3=0的距离最大
d的最大值为|PQ|=

(2+3)2+(3-3)2

=5
又∵PQ∥x轴
∴直线：ax+（a-1）y+3=0斜率不存在
即a=1
故选B

根据题意，将直线方程整理为a（x+y）+（3-y）=0，可得直线ax+（a-1）y+3=0经过定点Q（-3，3），由此可得当直线ax+（a-1）y+3=0与PQ垂直时，距离为PQ的长，并且此时点P到直线的距离达到最大值，由此不难得到本题的答案．

本题考点：点到直线的距离公式．

考点点评：本题给出经过定点的动直线，求直线外一点到直线距离的最大值，着重考查了直线经过定点、点到直线的距离和两点间的距离公式等知识，属于基础题．