题目
设函数y=f(x),且lg(lgy)=lg3x+lg(3-x)
(1)求函数y=f(x)的解析式及定义域;
(2)讨论函数y=f(x)的单调性.
(1)求函数y=f(x)的解析式及定义域;
(2)讨论函数y=f(x)的单调性.
提问时间:2021-11-05
答案
(1)∵lg(lgy)=lg3x+lg(3-x)
∴lg(lgy)=lg3x+lg(3-x)=lg[3x(3-x)](0<x<3),
∴lgy=3x(3-x),
∴f(x)=103x(3-x),x∈(0,3);
(2)由(1)可知,f(x)=103x(3-x),x∈(0,3),
令u=3x(3-x)=-3(x-
)2+
,
对称轴为x=
,根据二次函数的性质,
u在(0,
]上单调递增,在[
,3)上单调递减,
∵y=10u是R上的增函数,
∴f(x)在(0,
]上单调递增,在[
,3)上单调递减.
∴lg(lgy)=lg3x+lg(3-x)=lg[3x(3-x)](0<x<3),
∴lgy=3x(3-x),
∴f(x)=103x(3-x),x∈(0,3);
(2)由(1)可知,f(x)=103x(3-x),x∈(0,3),
令u=3x(3-x)=-3(x-
3 |
2 |
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4 |
对称轴为x=
3 |
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u在(0,
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∵y=10u是R上的增函数,
∴f(x)在(0,
3 |
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(1)根据对数的运算法则,可得lg(lgy)=lg[3x(3-x)](0<x<3),注意函数的定义域,即lgy=3x(3-x),再利用指数和对数的互化即可求得求f(x)的解析式,定义域;
(2)根据复合函数的单调性进行判断,根据“同增异减”的法则,分别研究内外函数的单调性,从而确定函数f(x)的单调性.
(2)根据复合函数的单调性进行判断,根据“同增异减”的法则,分别研究内外函数的单调性,从而确定函数f(x)的单调性.
函数单调性的判断与证明;函数的定义域及其求法;函数解析式的求解及常用方法;对数的运算性质;对数函数的定义域.
本题考查了求函数的解析式,求函数解析式常见的方法有:待定系数法,换元法,凑配法,消元法等.考查了函数的定义域及其求法,对于函数的定义域是指使得函数的解析式有意义的取值范围,要熟悉基本初等函数的定义域以及常见函数的限制条件.同时考查了函数单调性的判断与证明,注意一般单调性的证明选用定义法证明,证明的步骤是:设值,作差,化简,定号,下结论.属于中档题.
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