题目

设有m个正n边形，这m个正n边形的内角总和度数能够被8整除，求m+n的最小值．

提问时间：2021-11-04

答案

由题意，这m个正n多边形的内角总和度数为m（n-2）•180=180mn-360m（5分）
因为360m能被8整除，故180mn能被8整除；
而180能被4整除，不能被8整除，则必有mn能被2整除，
故m、n中只至少有一偶数．（10分）
又m≥1，n≥3，且均为整数．
要使m+n最小，则
取m=1时，则n=4；（15分）
取m=2时，则n=3；
故m+n的最小值为5．（20分）

正三边形的内角和是180，正四边形是360，正五边形是540，正n边形是（n-2）×180（n大于3），m个的总和是m（n-2）×180能给8整除，因为180÷8=45÷2，也就是说找到m（n-2）给2整除的最小m，n就可以了（n≥3），①n=3，m=2，3+2=5；②n=4，m=1，4+1=5，最小值为5．

本题考点：数的整除性；多边形内角与外角．

考点点评：本题考查了多边形内角和公式和数的整除性问题，找到m（n-2）给2整除或180mn被8整除的最小m，n是解题的关键．