题目

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且a_n+2=（2+cosnπ）（a_n-1）+3，n∈N^*．
（1）求通项公式a_n；
（2）求数列的前n项的和S_n．

提问时间：2021-11-03

答案

（1）当n是奇数时，cosnπ=-1，
所以a_n+2=a_n+2，所以a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，…是首项为a₁=1，公差为2的等差数列，因此a_2n-1=2n-1．
当n为偶数时，cosnπ=1，所以a_n+2=3a_n，所以a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…是首项为a₂=2，公比为3的等比数列，因此a2n＝2×3n−1．
综上an＝

n， n是奇 2×3 n 2 −1，n是偶

．
（2）由（1）得S2n＝(a1+a3+…+a2n−1)+(a2+a4+…+a2n)＝3n+n2−1，
S2n−1＝S2n−a2n＝3n−1+n2−1，
所以Sn＝

3 n 2 + n2 4 −1，n是偶 3 n−1 2 + (n+1)2 4 −1，n是奇

．

（1）讨论n的奇偶性，即可求通项公式a_n；
（2）根据等差数列和等比数列的前n项和公式，即可求数列的前n项的和S_n．

本题考点：数列的求和．

考点点评：本题主要考查数列的通项公式的求解以及数列求和的计算，考查学生的运算能力，本题注意要注意对n进行分类讨论．