题目

已知向量

a

=2

e

₁-3

e

₂，

b

=2

e

₁+3

e

₂，其中

e

₁、

e

₂不共线，向量

c

=2

e

₁-9

e

₂．问是否存在这样的实数λ、μ，使向量

d

=λ

a

+μ

b

与

c

共线？

提问时间：2021-10-14

答案

∵

d

=λ（2

e

₁-3

e

₂）+μ（2

e

₁+3

e

₂）
=（2λ+2μ）

e

₁+（-3λ+3μ）

e

₂，
若

d

与

c

共线，则存在实数k≠0，使

d

=k

c

，
即（2λ+2μ）

e

₁+（-3λ+3μ）

e

₂=2k

e

₁-9k

e

₂，由

2λ+2μ＝2k −3λ+3μ＝−9k

得λ=-2μ．
故存在这样的实数λ、μ，只要λ=-2μ，就能使

d

与

c

共线．

先将向量

a

、

b

代入表示出向量

d

，然后假设共线可得：应有实数k，使

d

=k

c

．即可得到λ=-2μ的关系式，从而得到答案．

本题考点：向量的线性运算性质及几何意义．

考点点评：本题主要考查向量的共线定理．属基础题．