题目

如图，已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．试说明：（1）△ABP≌△AEQ；（2）EF=BF．

提问时间：2021-10-14

答案

（1）∵△ABE和△APQ是等边三角形，
∴AB=AE，AP=AQ，∠BAE=∠PAQ=∠ABE=∠AEB=60°，
∴∠BAE-∠PAE=∠PAQ-∠PAE，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中，

AB＝AE ∠BAP＝∠EAQ AP＝AQ

，
∴△QAE≌△PAB（SAS）；
（2）∵△QAE≌△PAB
∴∠ABP=∠AEQ=90°．
∴∠AEF=90°，
∴∠ABP=∠AEF
∴∠ABP-∠AEB=∠AEF-∠ABE，
∴∠BEF=∠EBF，
∴BF=EF．

（1）根据等边三角形的性质可以得出AB=AE，AP=AQ，由等式的性质就可以得出∠BAP=∠EAQ，就可以得出结论；
（2）由△ABP≌△AEQ就可以得出∠ABP=∠AEQ=90°，进而可以得出∠FBE=FEB=30°，就可以得出EF=BF；

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．