题目

三棱锥P-ABC中,PA垂直平面ABC,PA=AC=1,PC=BC,直线PB和平面ABC所成的角为30度.求证平面PBC垂直平面PAC

提问时间：2021-10-14

答案

∵PA⊥平面ABC,∴BC⊥PA、PA⊥AC、PA⊥AB.
∵PA⊥AC、PA＝AC＝1,∴PC＝√2.
∵PA⊥AB,∴AB是PB在平面ABC上的射影,∴∠PBA＝30°,∴PB＝2PA＝2、AB＝√3PA＝√3.
∵AC＝1、BC＝PC＝√2、AB＝√3,∴AB^2＝AC^2＋BC^2,∴由勾股定理的逆定理,有：
BC⊥AC.
由BC⊥PA、BC⊥AC、PA∩AC＝A,∴BC⊥平面PAC,∴平面ABC⊥平面PAC.