题目

如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD=21cm，这三个正方形的面积之和是179cm²．

（1）求AB，BC，CD的长；    
（2）以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？

提问时间：2021-10-14

答案

由题意知：
（1）∵三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列
故设公差为d（d＞0），BC=x则AB=x-d，CD=x+d
由题意得：

(x−d)+x+(x+d)＝21 (x−d)2+x2+(x+d)2＝179

解得：

x＝7 d＝4

或

x＝7 d＝−4

（舍去）
∴AB=3（cm），BC=7（cm），CD=11（cm）
（2）正方形的边长组成已3为首项，公差为4的等差数列{a_n}，
∴a₁₀=3+（10-1）×4=39，
∴a₁₀²=39²=1521（cm）²
所求正方形的面积是1521（cm）²
故：（1）答案：AB=3（cm），BC=7（cm），CD=11（cm）（2）s=1521cm²

（1）因为AB，BC，CD构成等差数列，故设BC=x，AB=x-d，CD=x+d，根据AD=21=AB+BC+CD=（x-d）+x+（x+d）；（x-d）²+x²+（x+d）²=179，算出x，d，即可知道AB，BC，CD；（2）由（1）知道此等差数列的通项公式a_n=3+（n-1）•4，求出第10项的值，为正方形的边长，那么正方形的面积S=（a₁₀）²．

本题考点：数列的应用．

考点点评：本题主要考查对三项等差数列的设法的技巧，尽量减少变量，便于计算，属基础题型．