题目
数论证明,如果对于n>m有n≡1mod m,那么n的任何次幂N都符合N≡1mod
如题,是否能证明这个结论?
如题,是否能证明这个结论?
提问时间:2021-10-09
答案
这个结论是可以证明的.用C(n,k)表示从n个中选k个的组合数.
因为n≡1mod m,所以存在整数k使得 n=km+1.这样对任何n的任何正整数次幂N有 n^N
=(km+1)^N (用二项式展开)
=C(N,0)*(km)^N+C(N,1)*(km)^(N-1)+...+C(N,N-1)*(km)+C(N,N)
注意到前面N-1个式子C(N,0)*(km)^N,C(N,1)*(km)^(N-1),...,C(N,N-1)*(km)均为m的倍数,它们都能被m整除,所以 n^N≡C(N,N)≡1 (mod m).
即对n的任何正整数次幂N都满足 N≡1 (mod m).
因为n≡1mod m,所以存在整数k使得 n=km+1.这样对任何n的任何正整数次幂N有 n^N
=(km+1)^N (用二项式展开)
=C(N,0)*(km)^N+C(N,1)*(km)^(N-1)+...+C(N,N-1)*(km)+C(N,N)
注意到前面N-1个式子C(N,0)*(km)^N,C(N,1)*(km)^(N-1),...,C(N,N-1)*(km)均为m的倍数,它们都能被m整除,所以 n^N≡C(N,N)≡1 (mod m).
即对n的任何正整数次幂N都满足 N≡1 (mod m).
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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