题目

设函数f（x）=2cos²x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π

6

]时，f（x）的最大值为2，求a的值，并求出y=f（x）（x∈R）的对称轴方程．

提问时间：2021-10-06

答案

（1）f（x）=1+cos2x+sin2x+a=

2

sin（2x+

π

4

）+1+a，
∵ω=2，∴T=π，
∴f（x）的最小正周期π；
当2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）时f（x）单调递增，
解得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
则x∈[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）为f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π

6

]时，

π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

12

，
当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，sin（2x+

π

4

）=1，
则f（x）max=

2

+1+a=2，
解得：a=1-

2

，
令2x+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z），得到x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z）为f（x）的对称轴．

（1）函数f（x）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的单调递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z）求出x的范围即为函数的递增区间；
（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的单调性求出正弦函数的最大值，表示出函数的最大值，由已知最大值求出a的值即可，令这个角等于kπ+

π

2

（k∈Z），求出x的值，即可确定出对称轴方程．

本题考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．

考点点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．