题目

等差数列a_n不是常数列，a₅=10，且a₅，a₇，a₁₀是某一等比数列b_n的第1，3，5项．
（1）求数列a_n的第20项；
（2）求数列b_n的通项公式．

提问时间：2021-10-04

答案

（1）设数列a_n的公差为d，则a₅=10，a₇=10+2d，a₁₀=10+5d
因为等比数列b_n的第1、3、5项也成等比，所以a₇²=a₅a₁₀，
即：（10+2d）²=10（10+5d），
解得d=

5

2

，d=0舍去）
∴a₂₀=a₅+15d=47.5．
（2）由（1）知a_n为正项数列，
所以q2＝b3/b1＝a7/a5＝

15

10

＝

3

2

，
即q＝±(

3

2

)

1

2

，
∴bn＝b1•qn−1＝a5•qn−1＝±10(

3

2

)

n−1

2

．

（1）先用a₅和d表示出a₇和a₁₀，进而利用等比中项的性质，建立等式求得d，进而根据等差数列的通项公式求得a_n的第20项；
（2）由（1）知a_n为正项数列，进而根据q2＝

b3

b1

求得公比，进而利用等比数列的通项公式求得答案．

本题考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．

考点点评：本题主要考查了等比数列和等差数列的性质．考查了对于等差数列和等比数列通项公式的应用．