题目

（高一数学）为什么两半径相同的圆相离时,其方程相减可得到两圆的对称轴?

提问时间：2021-10-03

答案

已知：圆R:x^2+y^2+dx+ey+f=0和圆S:x^2+y^2+mx+ny+p=0相交于A、B两点
求证：圆R与圆S的公共弦AB的直线方程为(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0
同一法：
证明：设A(x1,y1),B(x2,y2)是圆R与圆S的两个交点,
所以,
x1^2+y1^2+dx1+ey1+f=0 ①
x1^2+y1^2+mx1+ny1+p=0 ②
x2^2+y2^2+dx2+ey2+f=0 ③
x2^2+y2^2+mx2+ny2+p=0 ④
所以,
①-②,得
(d-m)x1+(e-n)y1+(f-p)=0 ⑤
③-④,得
(d-m)x2+(e-n)y2+(f-p)=0 ⑥
由⑤、⑥,得A(x1,y1)、B(x2,y2)两点同时适合直线方程(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0
因为过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线有且只有一条
所以,直线方程(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点.
因为AB是圆R与圆S的公共弦
所以,圆R与圆S的公共弦AB的直线方程为(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0
即有
圆R:x^2+y^2+dx+ey+f=0 ⑦
圆S:x^2+y^2+mx+ny+p=0 ⑧
⑦-⑧,得
(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0
所以,圆R与圆S的公共弦AB的直线方程为(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0