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题目
f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=
1
f(x)
,若f(1)=-5,则f(f(5))=(  )
A. -5
B.
1
5

C.
1
5

D. 5

提问时间:2021-09-28

答案
∵f(x+2)=
1
f(x)

∴f(x+2+2)=
1
f(x+2)
=f(x)
∴f(x)是以4为周期的函数
∴f(5)=f(1+4)=f(1)=-5
f(f(5))=f(-5)=f(-5+4)=f(-1)
又∵f(-1)=
1
f(−1+2)
=
1
f(1)
=-
1
5

∴f(f(5))=-
1
5

故选B
先通过f(x+2)=
1
f(x)
可推断函数f(x)是以4为周期的函数.进而可求得f(5)=f(1),f(-5)=f(-1);根据f(x+2)=
1
f(x)
可求得f(-1)=
1
f(1)
,进而可求得f(f(5)).

函数的周期性.

本题主要考查了函数的周期性.要特别利用好题中f(x+2)=

1
f(x)
的关系式.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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