题目

如图，D是△ABC外接圆上的一点，且BD=DC=6cm，连接AD交BC于M，如果AM=9cm，求AD的长．

提问时间：2021-09-22

答案

设AD=x，则DM=x-9．∵BD=DC，∴∠DBC=∠BCD，∵∠BAD=∠BCD，∴∠BAD=∠DBC．在△ABD与△BMD中，∠BAD＝∠DBC∠ADB＝∠BDM，∴△ABD∽△BMD，∴AD：BD=BD：MD，∴x：6=6：（x-9），整理得：x2-9x-36=0，∴x1=12，x2=...

先由BD=DC，得出∠DBC=∠BCD，而∠BAD=∠BCD，则∠BAD=∠DBC，再由∠ADB公共，可证明△ABD∽△BMD，设AD=x，则DM=x-9，根据相似三角形对应边成比例列出关于x的方程，解方程即可．

本题考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理．

考点点评：本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，根据两角对应相等的两三角形相似证明出△ABD∽△BMD是解题的关键．