题目

已知函数f(x)=x^2+ax-lnx(a∈R),令g(x)=f(x)-x^2,是否存在a当x∈（0,e]时,最小值为3,求a值

提问时间：2021-09-20

答案

g(x)=ax-lnx
g'(x)=a-1/x,x=1/a
g''(1/a)=a^2>0 (a不等于0,a=0时,g(x)=-lnx,不会有最小值3)
所以 x=1/a为极小值点
如果最小值存在,min{g(x)}=min{g(1/a),g(e)} 且 1/a∈（0,e]
1）若min{g(x)}=g(e)时,g(e)=ae-1=3,所以a=4/e,此时,g(1/a)=ln43.
综上,如果最小值存在,则a=e^2