题目

以抛物线y²=4x的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A（-1，3）的直线l相切，则直线l的方程是 ______．

提问时间：2021-09-18

答案

若直线l的斜率不存在，根据题意显然x=-1满足条件，所以直线l的方程为x=-1；
若直线l的斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为y-3=k（x+1），
根据抛物线的解析式得到焦点法横坐标为x=

P

2

=

2

2

=1，
则焦点坐标即为圆心坐标为（1，0），
因为直线l与圆相切，所以圆心到直线的距离d=

|2k+3|

k2+(−1)2

=r=2，解得k=-

5

12

，
则直线l的方程为y-3=-

5

12

（x+1），化简得5x+12y-31=0．
所以直线l的方程是x=-1或5x+12y-31=0．
故答案为：x=-1或5x+12y-31=0

先根据抛物线的方程求出焦点坐标即为圆心坐标，然后分两种情况：斜率不存在，显然得到直线l；斜率存在时，设出斜率k，因为直线l与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径列出关于k的方程，求出k的值即可得到直线l的方程．

本题考点：圆的切线方程；抛物线的简单性质．

考点点评：本题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，会利用抛物线的简单性质．学生做题时很可能把平行与y轴的切线遗漏，考虑问题不全面．