题目

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．求证：

（1）B₁D⊥平面A₁C₁B；
（2）B₁D与平面A₁C₁B的交点设为H，则点H是△A₁C₁B的重心．

提问时间：2021-09-17

答案

证明：（1）连B₁D₁，B₁D₁⊥A₁C₁，又DD₁⊥面A₁B₁C₁D₁，
所以DD₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥面D₁DB₁，因此A₁C₁⊥B₁D．
同理可证B₁D⊥A₁B，所以B₁D⊥平面A₁C₁B．（6分）
（2）连A₁H，BH，C₁H，由A₁B₁=BB₁=C₁B₁，得A₁H=BH=C₁H，因此点H为△A₁BC₁的外心．
又△A₁BC₁为正三角形，所以H是△A₁BC₁的中心，
也是△A₁BC₁的重心．（12分）

（1）连B₁D₁，要B₁D⊥平面A₁C₁B，只需证明直线B₁D垂直平面A₁C₁B内的，两条相交直线A₁C₁、A₁B即可；
（2）B₁D与平面A₁C₁B的交点设为H，连A₁H，BH，C₁H，由A₁B₁=BB₁=C₁B₁，得A₁H=BH=C₁H，因此点H为△A₁BC₁的外心，类比推出，点H是△A₁C₁B的垂心．

本题考点：直线与平面垂直的判定；三角形五心．

考点点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．