题目

设函数f（x）=ax²+bx+c （a≠0）中，a，b，c均为整数，且f（0），f（1）均为奇数．求证：f（x）=0无整数根．

提问时间：2021-09-11

答案

证明：f（0）=c为奇数
f（1）=a+b+c为奇数，则a+b为偶数
所以a，b同奇偶
假设整数根t，所以f（t）=0 即at²+bt+c=0
若a，b同为偶数，则at²+bt为偶数，所以at²+bt+c为奇数可得at²+bt+c≠0
与at²+bt+c=0矛盾
若a，b同为奇数，
若t为偶数则at²+bt为偶数
若t为奇数则at²+bt为偶数
所以 at²+bt+c为奇数 可得at²+bt+c≠0与at²+bt+c=0矛盾
综上所述方程f（x）=0无整数根

先通过条件得到a，b同奇偶，然后分别讨论若a，b同为偶数与同为奇数两种情形，然后根据数值的奇偶进行判定方程有无整数根．

本题考点：函数与方程的综合运用．

考点点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．