题目

已知点 c(-1,0),及椭圆x2+y2=5.过c的动直线与与椭圆交于a、b两点 若线段a、b中点
1 若线段a、b中点横坐标为-1/2 求AB方程
2 在x轴上是否存在点M,使向量MA*向量MB为常数 若存在,求出M 如不存在 说明理由
是x2+3y2=5 是向量MA与向量MB的数量积为常数

提问时间：2021-09-11

答案

设直线y=kx+k,与椭圆联立 (3k^2+1)x^2+6k^2*x+3k^2-5=0
两根和-6k^2/(3k^2+1) = -1/2 *2 (因为a、b中点横坐标为-1/2)
k就知道了.可得方程.
向量MA*向量MB是点乘还是叉乘.我默认是内积啊.
设M（d,0),A(x1,y1),B(x2,y2)
MA*MB = (x1-d)(x2-d)+y1y2 = x1x2-d(x1+x2)+d^2 + y1y2
x1x2 = (3k^2-5)/(3k^2+1) x1+x2 = -6k^2/(3k^2+1)
y1y2 = k^2(x1+1)(x2+1)=k^2(x1x2 + x1+x2 +1) 可以用K表示.
这样MA*MB的表达式就可以用k和d表示出来,常数的意思就就是与k无关.那么让有k的部分等于零,然后解方程即得.