题目

矩阵的对角线上的元素都算它的一阶主子式吗?按主子式的定义,一个矩阵的k阶主子式可能不唯一,但是书上在判断矩阵正定的时候只考虑其中一个,这是为什么（例如二阶主子式可能存在好几个吧）?

提问时间：2021-09-09

答案

矩阵的主子式有顺序主子式和主子式之分,目前不少线性代数教材不提“顺序主子式”这一概念（如同济版的）,而默认顺序主子式就是主子式.书上在判断矩阵正定的时候只考虑其中一个,这一个就是左上角的那一个,这实际上就是只考虑顺序主子式.
你所说的“ 矩阵的对角线上的元素都算它的一阶主子式吗”,这是对的,但一阶顺序主子式就只有一个.
严格的说,n阶矩阵的主子式是指取该矩阵相同的行号和列号,其交叉点处的元素构成的行列式.一般的说,n阶矩阵的k阶主子式有n(n-1)...(n-k+1)/k!个,
如一阶子式有n个,二阶子式有n(n-1)/2个,等等.