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题目
如图,一块五边形木板ABCDE是由矩形木板AFDE截去∠F后剩下的,AE=130cm,ED=100cm,BF=80cm,FC=40cm.现要在五边形木板ABCDE上再截一块矩形木板NPME,且点P在线段BC上,若设PM的长为x(cm),矩形NPME的面积为y(cm2).
求:(1)y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)求当x为何值时,面积y最大,最大面积为多少?

提问时间:2021-09-09

答案
(1)延长NP交FD于点H,
CH=HD-CD=PM-(FD-FC)
=x-(130-40)=x-90
∵PH∥BF,
∴△CPH∽△CBF.
PH
BF
CH
CF

PH
80
x−90
40

∴PH=2x-180.
则y=PM•EM=x•[100-(2x-180)]=-2x2+280x
90≤x≤130.
(2)∵90≤x≤130
又因为抛物线y=-x2+220x的对称轴为x=70,开口向下.
所以,在90≤x≤130内y随x的增大而减小,
当x=90时,y=-2x2+280x取得最大值.
其最大值为y=9000cm2
(1)设PM=x,表示PN的长,为此延长NP交FD于点H,构造△CPH∽△CBF,利用对应边的比相等可求PH,PN=NH-PH=100-PH,根据题意求出自变量x的范围;
(2)根据矩形面积公式求函数y,根据抛物线对称轴及自变量x的范围求最大值.

二次函数综合题;二次函数的应用.

本题结合表示矩形PMEN的面积考查二次函数的综合应用,注意在设矩形一边长后,求另一边长,把问题转化到相似三角形来解.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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