题目

1+1/2+1/3+…+1/(n-1)>ln((n+1)/2) (n>1)
如题.
那个,我是高中生,好像没学过微积分....
好像证不出来,能写具体点吗?

提问时间：2021-09-07

答案

用微积分做
构造函数y=1/x
则上式表示(n-1)个小矩形面积的积,比如1/2代表区间[2,3]上以1/2为宽的小矩形
又y=1/x是[1,正无穷）上的凹函数
故上式>积分（n,1）dx/x=lnn(注意积分上限是n不是n-1)
又lnn-ln((n+1)/2)=ln[2n/(n+1)]
容易证明 当n>1时 2n/(n+1)>1
故ln[2n/(n+1)]>0
故上式>lnn>ln[(n+1)/2]
如果导数都没学过,那我就没办法了...