题目

已知圆锥的底面半径为4,高为6,在其中有一个高为x的内接圆柱,设圆柱的侧面积为y
（1）求圆锥的体积
（2）写出y关于x的函数解析式及函数定义域
（3）当x为何值时,y有最大值,最大值是多少

提问时间：2021-09-06

答案

1.V = (4π/3)R²=32π；
2.设内接圆柱的底面半径为r,
则：以内接圆柱上底一条半径为底边,圆锥上顶点所形成的三角形
与圆锥底面上半径与顶点所形成的三角形相识
=> (6-x)/6 = r/4
=> r =4-2x/3
y = 2π r x
=2πx(4 - 2x/3)
= -(4/3)πx²+(8π)x
∵ 圆柱内接于圆锥 ∴ x的取值为（0,6）
即：函数定义域为x∈（0,6）
3.y = -(4/3)πx²+(8π)x
= -(4/3)π(x²-6x)
= -(4/3)π(x²-6x+9-9)
= -(4/3)π(x-3)²+12π
即 y = 12π-(4/3)π(x-3)²
∵ x∈（0,6） 则 (4/3)π(x-3)²< 12π
要使y最大,使(4/3)π(x-3)²最小即可
明显(4/3)π(x-3)²值为零时最小,此时x=3
y的最大值是12π