题目

在椭圆x2+4y2=16中,求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线的方程和弦长
设直线方程为y-1=k(x-2)
直线和椭圆两交点为(x1,y1)(x2,y2)
则有x1²+4y1²=16
x2²+4y2²=16
两式相减得x1²-x2²+4y1²-4y2²=0
即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0 (1)
因为M(2,1)是点(x1,y1)和点(x2,y2)的中点,则有
(x1+x2)/2=2;(y1+y2)/2=1
x1+x2=4;y1+y2=2
代入(1)式得:
4(x1-x2)+4*2(y1-y2)=0
弦的斜率为 k=(y1-y2)/(x1-x2)=-1/2
设 弦的方程为y=-x/2+m,因为过 M(2,1)点,则有1=-2/2+m,m=2
则方程为y=-x/2+2
不用点差法不行吗?而且我不用点差法怎么也算不对.我用的是设y-1=k(x-2)与椭圆联立用(x1+x2)/2=2不行吗

提问时间：2021-09-06

答案

行把y=k(x-2)+1代入x²+4y²=16,得(4k²+1)x²-8(2k²-k)x+16k²-16k-12=0(*) ,(x1+x2)/2=4(2k²-k)/(4k²+1)=2,k=-1/2 ,通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线的方程为y-1=(1/2)...