题目

三个同样的正方形重叠,交点是正方形的中点.如果一个正方形的周长为40厘米,这个图形多少面积?

提问时间：2021-07-01

答案

一个正方形周长为40cm,则边长为40/4=10cm,一个正方形面积为10²=100cm²

<1>如图,三个正方形相交有三种情况,

（I）相互均垂直；（II）有两个垂直；（III）均不垂直

在由I到II的过程中,a,b相交互切的形状未发生变化,故面积无变化；b与c相交切得的形状发生变化,但在b面上只有一条线段穿过,不占面积,故b的总面积不发生变化

同理可以证明,在由II到III的过程中,虽然各面的夹角发生变化,交线的位置发生变化,但构成图形的总面积不发生变化

∴三个正方形相交,若交点只有一个,则无论相交情况如何,其表面的面积保持恒定

由图I易知,整个图形的面积为3个正方形的面积之和的2倍（每个正方形有两面）

即S总=2*3S正方形=6*100=600 cm²

<2>还有两种特殊情况：

①若有两个面重合,则其总面积减少1/3

即S总=4S正方形=4*100=400 cm²

②若三个正方形完全重合,则总面积减少2/3

即S总=2S正方形=200 cm²

<3>还有一种最特殊又最一般的情况：

即如图IV所示,三个正方形均在同一平面,并以正方形中点为中心,旋转一定角度重叠而成的多边形两面的面积,这个面积是随旋转角度的不同而变化的,不是一个定值,难以求取

想来这种情况应该也不是楼主的本意,是我想多了吧