题目
如图,△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,
(1)在图1中,分别画出点P到边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH,这3条线段相等吗?为什么?
(2)在图2中,∠ABC是直角,∠C=60°,其余条件都不变,请你判断并写出PE与PD之间的数量关系,并说明理由.
(1)在图1中,分别画出点P到边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH,这3条线段相等吗?为什么?
(2)在图2中,∠ABC是直角,∠C=60°,其余条件都不变,请你判断并写出PE与PD之间的数量关系,并说明理由.
提问时间:2021-05-09
答案
(1)PF=PH=PG,理由如下:∵AD平分∠BAC,PF⊥AC,PH⊥AB,∴PF=PH,∵BE平分∠ABC,PG⊥BC,PH⊥AB,∴PG=PH,∴PF=PH=PG;(2)PE=PD.证明:∵∠ABC=90°,∠C=60°,∴∠CAB=30°,∵AD平分∠BAC,BE平分∠ABC...
(1)PF、PG与PH,3条线段相等,理由为:因为AD为∠BAC的平分线,PF垂直于AC,PH垂直于AB,根据角平分线定理得到PF=PH,同理BE为∠ABC的平分线,PG垂直于BC,PH垂直于AB,得到PG=PH,等量代换即可得证;
(2)PE=PD,理由为:过P作PF垂直于AC,PG垂直于BC,由∠PDG为△ADC的一个外角,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和,得到∠PDG=∠C+∠CAD,又∠CAB=30°,AD为∠CAB的平分线得到∠CAD=
∠CAB,求出∠PDG的度数,同理∠PEF是△ABE的一个外角,即可求出∠PEF的度数,发现两角相等,再由垂直得到一对直角相等,由第一问得到PF=PG,根据“AAS”即可得到三角形PEF与三角形PDG全等,根据全等三角形的对应边相等即可得证.
(2)PE=PD,理由为:过P作PF垂直于AC,PG垂直于BC,由∠PDG为△ADC的一个外角,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和,得到∠PDG=∠C+∠CAD,又∠CAB=30°,AD为∠CAB的平分线得到∠CAD=
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角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.
此题综合考查了角平分线定理,全等三角形的判定与性质,以及三角形的外角性质.遇到角平分线常常经过角平分线上的点作角两边的垂线,得到两垂线段的长相等,此道题的两问都是先实验猜想,再探索证明,其目的是考查学生提出问题,解决问题的能力,这类题是近几年中考试题的热点试题.
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