题目

怎么用解析几何的方法证明均值不等式啊?求思路或者参考文献~谢谢

提问时间：2021-05-08

答案

证明 设P是圆O外一点,连PO分别交圆O两点A与B,设PA=a,PB=b,a>b.过P作圆O的切线PC,C为切点,作CE⊥AB,交AB于E,作OD⊥AB,交圆O于D,[C与D在直径AB两侧] ,连PD.令圆的半径为R.显然PA-PB=2R,OC=OD=OB=(a-b)/2.易知:
由PO=PB+BO PO=(a+b)/2;
由PC^2=PA*PB PC=√ab;
由PE*PO=PC^2 PE=2ab/(a+b);
PD^=PO^2+OB^2 PD=√[(a^2+b^2)/2]
显然可直观地知:PD>PO>PC>PE.
当圆O的半径(a-b)/2无穷小时,即A与B重合,也即a=b时,取等号.