题目

如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，E为BC中点．

（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）延长ED交BA的延长线于F，若DF=4，AF=2，求BC的长．

提问时间：2021-05-08

答案

解（1）如图，连接DB，OD，∵OD=OB∴∠1=∠3．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°=∠CDB，∵E为BC中点，∴DE=BE，∴∠2=∠4．∵BC切⊙O于点B，∴∠ABC=90°=∠3+∠4，∴∠1+∠2=90°，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O半径，∴DE为⊙...

（1）连接OD和DB，根据直角三角形斜边上中线性质得出DE=BE，推出∠2=∠4，根据等腰三角形性质得出∠1=∠3，根据∠3+∠4=∠1+∠2=∠ABC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）在Rt△FDO中，根据勾股定理求出半径，证△FDO∽△FBE，得出比例式求出BE，即可求出BC．

本题考点：切线的判定与性质；勾股定理．

考点点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理，切线的判定，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．