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题目
设函数f(x)=ex-1-x-ax2
(1)若a=0,求f(x)的单调区间;
(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.

提问时间:2021-05-07

答案
(1)a=0时,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.
当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
故f(x)在(-∞,0)单调减少,在(0,+∞)单调增加
(II)f′(x)=ex-1-2ax
由(I)知ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立.故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,
从而当1-2a≥0,即a≤
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时,f′(x)≥0(x≥0),而f(0)=0,
于是当x≥0时,f(x)≥0.
由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0).
从而当a>
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时,f′(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),
故当x∈(0,ln2a)时,f'(x)<0,而f(0)=0,于是当x∈(0,ln2a)时,f(x)<0.
综合得a的取值范围为(−∞,
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]
(1)先对函数f(x)求导,导函数大于0时原函数单调递增,导函数小于0时原函数单调递减.
(2)根据ex≥1+x可得不等式f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,从而可知当1-2a≥0,即a≤
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时,f′(x)≥0判断出函数f(x)的单调性,得到答案.

利用导数研究函数的单调性.

本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题,考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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